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清北网校名师在线科普:为何尺规作图不能三等分任意角?

2020-02-21 17:44:22|来源:北国网|编辑:靳松

  古希腊在数学界取得过大量突出成就,在尺规作图领域提出了三大几何问题困扰了人类超过2000年,分别是:立方倍积、三等分角和化圆为方。近日,清北网校名师科普课堂中,北京人大附中名师李永乐展开在线科普教育,详细解释了三大几何难题不可尺规作图的原因。

  尺规作图是指利用圆规和没有刻度的直尺两种工具,以几何图像的方式,计算出一系列数学问题,包括加减乘除、平方根、平方根再开平方根等。李永乐老师通过200年前的数学家阿贝尔、伽罗瓦的证明结果,向同学们科普了为什么这三大几何难题通过尺规作图是不可做的。整个过程逻辑严谨、知识丰富,讲解透彻,同学们纷纷留言参与讨论。

  李永乐老师首先对三个几何问题进行了详细解释。所谓立方倍积,是指已知一个正方体,通过尺规作图做出一个2倍于该体积的正方体。传说雅典城在公元前400年的时候发生了瘟疫,于是人们就去太阳神神殿祈求阿波罗如何结束瘟疫,太阳神说只要把这个神殿的体积增大为原来的两倍,瘟疫就结束了。于是人们就去问当时的著名学者柏拉图,却始终无法解开。

  三等分角是指给出一个任意角,通过尺规作图,把这个角分成三个一样大的角。

  化圆为方是指,给出一个任意面积的圆形,通过尺规作图,得出一个相同面积的正方形。

  这三个问题,自从公元前400年前被提出,困扰了无数数学家。直到19世纪初,才被两位数学家证明:这三个难题都是不可尺规作图的。这两位数学家分别是来自挪威的阿贝尔和来自法国伽罗瓦。

  两位年轻数学家生涯坎坷,被李永乐老师同情的称之为数学史上命运最悲惨的人之一。两位数学家的相关论文成果,分别被寄给当时的多位数学大师,结果有的被忽视,有的看不懂,有的弄丢了,还有没看完就去世的。两位数学家均英年早逝,去世后其成果才受到重视。

  李永乐老师在讲解过程中用到了“域”论的数学概念。所谓“域”,是指对加减乘数运算封闭的一组数的集合,即可构成一个“域”,如有理数域、实数域、复数域。而两个相同的无理数相除结果为“1”,1是有理数,所以就不存在无理数域。

  所有可以通过尺规作图的数,被称之为规矩数。如果能得出这样一个规矩数所组成的“域”,就意味着找出了所有可以尺规作图的数,并排除了不可尺规作图的数,对应的古希腊三大几何问题就可以迎刃而解。

  李永乐老师通过一系列的论证过程得出结论,若一个数k可以尺规作图,那么k一定是如下不可约方程的根,且n为2的整数次幂,即满足n=2^m(m属于整数)

  看起来颇复杂,其实运用起来并不难,比如√2 是x^2-2=0的根,n=2,是2的1次幂,所以可以尺规作图。又如 ³√2是x^3-2=0的根,n=3,不是2的整数次幂,所以非尺规作图数。

  通过这个结论就可以解决前面提到的三大几何问题。比如立方倍积问题,就是要求原来正方体边长的 ³√2倍,这是一个非尺规作图数,所以不可做。至于三等分角问题,则是有个别角可以,任意角三等分不可以。化圆为方则涉及π的平方根,非不可约方程,所以不可做。

  就这样仅用了20分钟,李永乐老师把困扰了数学家们2000多年的尺规作图几何难题,向同学们解释的清清楚楚,并列举了伪证反例来进行说明。李永乐老师硕士毕业于清华大学,曾获"国际奥赛金牌教练员"称号,培养清华、北大学生200余人,全网粉丝超千万,视频播放量超三亿。

  清北网校名师课堂免费推出了8节李永乐科普课,内容以数学及物理学科普为主,深入浅出地讲解了万有引力定律、角动量守恒等知识点,已经于2月10日正式上线。

  此前,清北网校还面向小学三年级到初中二年级的学生,免费提供语、数、外3科7天18节在线直播精品课。课程均由清华北大毕业的一线名师授课。

  清北网校是字节跳动旗下的K12在线教育平台。除免费的名师课堂外,清北网校还为全国各地中小学免费搭建"空中课堂",帮助各校老师及学生完成在线授课和学习。目前,清北网校"空中课堂"已获得河南、湖北、四川等多省教育厅的官方推荐。

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